约束线性最小二乘有约束线性最小二乘的标准形式为sub to 其中：C、A、Aeq为矩阵；d、b、beq、lb、ub、x是向量。在MATLAB5 x中，约束线性最小二乘用函数conls求解。函数 lsqlin 格式 x = lsqlin(C,d,A,b) %求在约束条件 下，方程Cx =d的最小二乘解x。x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq) %Aeq、beq满足等式约束，若没有不等式约束，则设A=[ ]，b=[ ]。x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %lb、ub满足，若没有等式约束，则Aeq=[ ]，beq=[ ]。x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为初始解向量，若x没有界，则lb=[ ]，ub=[ ]。x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) %options为指定优化参数[x,resnorm] = lsqlin(…) %resnorm=norm(C*x-d)^2，即2-范数。[x,resnorm,residual] = lsqlin(…) %residual=C*x-d，即残差。[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqlin(…) %exitflag为终止迭代的条件[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqlin(…) %output表示输出优化信息[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(…) %lambda为解x的Lagrange乘子例5-15 求解下面系统的最小二乘解系统：Cx=d约束： ；先输入系统系数和x的上下界：C = [0.9501 0.7620 0.6153 0.4057;… 0.2311 0.4564 0.7919 0.9354;… 0.6068 0.0185 0.9218 0.9169;… 0.4859 0.8214 0.7382 0.4102;… 0.8912 0.4447 0.1762 0.8936];d = [ 0.0578; 0.3528; 0.8131; 0.0098; 0.1388];A =[ 0.2027 0.2721 0.7467 0.4659;… 0.1987 0.1988 0.4450 0.4186;… 0.6037 0.0152 0.9318 0.8462];b =[ 0.5251; 0.2026; 0.6721];lb = -0.1*ones(4,1);ub = 2*ones(4,1);然后调用最小二乘命令：[x,resnorm,residual,exitflag,create,lambda] = lsqlin(C,d,A,b,[ ],[],lb,ub);结果为：x = -0.1000 -0.1000 0.2152 0.3502resnorm = 0.1672residual = 0.0455 0.0764 -0.3562 0.1620 0.0784exitflag = 1 %说明解x是收敛的output = iterations: 4 algorithm: medium-scale: active-set firstorderopt: [] cgiterations: []lambda = lower: [4x1 double] upper: [4x1 double] eqlin: [0x1 manifold] ineqlin: [3x1 double]通过lambda ineqlin可查看非线性不等式约束是否有效。非线性数据（曲线）拟合非线性曲线拟合是已知输入向量xdata和输出向量ydata，并且知道输入与输出的函数关系为ydata=F(x,xdata)，但不知道系数向量x。今进行曲线拟合，求x使得下式成立：在MATLAB5 x中，使用函数curvefit解决这类问题。函数 lsqcurvefit格式 x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)[x,resnorm] = lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,create] = lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqcurvefit(…)[x,resnorm,residual,exitflag,create,lambda,jacobian]=lsqcurvefit(…)参数说明：x0为初始解向量；xdata，ydata为满足关系ydata=F(x,xdata)的数据；lb、ub为解向量的下界和上界 ，若没有指定界，则lb=[ ]，ub=[ ]；options为指定的优化参数；fun为拟合函数，其定义方式为：x =lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata)，其中myfun已定义为 function F = myfun(x,xdata)F = … % 计算x处拟合函数值fun的用法与前面相同；resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2)，即在x处残差的平方和；residual=fun(x,xdata)-ydata，即在x处的残差；exitflag为终止迭代的条件；output为输出的优化信息；lambda为解x处的Lagrange乘子；jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。例5-16 求解如下最小二乘非线性拟合问题已知输入向量xdata和输出向量ydata，且长度都是n，拟合函数为即目标函数为其中：初始解向量为x0=[0.3. 0.4. 0.1]。解：先建立拟合函数文件，并保存为myfun mfunction F = myfun(x,xdata)F = x(1)*xdata.^2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata.^3;然后给出数据xdata和ydata>>xdata = [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4];>>ydata = [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.054.3];>>x0 = [10. 10. 10]; %初始估计值>>[x,resnorm] = lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata)结果为：Optimization terminated successfully:Relative function determine changing by less than OPTIONS. TolFunx =0.2269 0.3385 0.3021resnorm = 6.2950非线性最小二乘非线性最小二乘（非线性数据拟合）的标准形式为其中：L为常数在MATLAB5 x中，用函数leastsq解决这类问题，在6.0版中使用函数lsqnonlin。设则目标函数可表达为其中：x为向量，F(x)为函数向量。函数 lsqnonlin格式 x = lsqnonlin(fun,x0) %x0为初始解向量；fun为，i=1,2,…,m，fun返回向量值F，而不是平方和值，平方和隐含在算法中，fun的定义与前面相同。x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub) %lb、ub定义x的下界和上界： 。x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options) %options为指定优化参数，若x没有界，则lb=[ ]，ub=[ ]。[x,resnorm] = lsqnonlin(…) %resnorm=sum(fun(x).^2)，即解x处目标函数值。[x,resnorm,residual] = lsqnonlin(…) %residual=fun(x)，即解x处fun的值。[x,resnorm,residual,exitflag] =lsqnonlin(…) %exitflag为终止迭代条件。[x,resnorm,residual,exitflag,create] = lsqnonlin(…) %output输出优化信息。[x,resnorm,residual,exitflag,create,lambda] = lsqnonlin(…) %lambda为Lagrage乘子。[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=lsqnonlin(…) %fun在解x处的Jacobian矩阵。例5-17 求下面非线性最小二乘问题 初始解向量为x0=[0.3. 0.4]。解：先建立函数文件，并保存为myfun m，由于lsqnonlin中的fun为向量形式而不是平方和形式，因此，myfun函数应由建立： k=1,2,…,10answer F = myfun(x)k = 1:10;F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));然后调用优化程序：x0 = [0.3 0.4]；[x,resnorm] = lsqnonlin(@myfun,x0)结果为：Optimization terminated successfully:Norm of the current go is less than OPTIONS. TolXx = 0.2578 0.2578resnorm = %求目标函数值 124.3622非负线性最小二乘非负线性最小二乘的标准形式为：sub to 其中：矩阵C和向量d为目标函数的系数，向量x为非负独立变量。在MATLAB5 x中，用函数nnls求解这类问题，在6.0版中则用函数lsqnonneg。函数 lsqnonneg格式 x = lsqnonneg(C,d) %C为实矩阵，d为实向量x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0为初始值且大于0x = lsqnonneg(C,d,x0,options) % options为指定优化参数[x,resnorm] = lsqnonneg(…) % resnorm=norm (C*x-d)^2[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…) %residual=C*x-d[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqnonneg(…)[x,resnorm,residual,exitflag,create] = lsqnonneg(…)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonneg(…)例5-18 一个最小二乘问题的无约束与非负约束解法的比较。先输入数据：>>C = [ 0.0372 0.2869; 0.6861 0.7071; 0.6233 0.6245;0.6344 0.6170];>>d = [0.8587; 0.1781; 0.0747; 0.8405];>> [C\d lsqnonneg(C,d)]ans = -2.5627 0 3.1108 0.6929注意：1。当问题为无约束线性最小二乘问题时，使用MATLAB下的“\”运算即可以解决。2．对于非负最小二乘问题，调用lsqnonneg(C,d)求解。cited.
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